J02 Assembled Transport

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从单元方程到全域解

这一层依次连接空间单元、反射边界和场重构。 先求全开放区域的一轮扫描，再固定上一轮分布核对混合反射， 随后运行反射迭代，最后检查完整求解入口。 各测试自行构造小网格，源码位于 tests/012_fluid/J02_neutral_sn_transport_2Drz/source_f90。

步骤	测试程序	正式调用
连接内部单元	test_J02_unified_sweep	sub_J02_sweep → 开放边界通量重构
连接反射入射与出射	test_J02_reflection_partial_inlet	单轮混合扫描 → sub_J02_solve_source_iteration → 密度与边界通量
保正与收支	test_J02_positivity	尖锐入口 → 全域扫描 → 各速度角点和收支
完整结果及重复调用	test_J02_transport_entry	sub_J02_solve_transport → 分布、密度、均速和各面通量
幅值与壁温	test_J02_review_regressions	缩放入口后重新求解；低温壁面归一化及错误返回

1. 全开放区域：一次扫描连接相邻单元

test_J02_unified_sweep.f90 使用径向边界 [1,2,3]、 轴向边界 [0,1,2]，形成 2×2 有效单元。 所有外边界开放，损失为零，求积为 8 个角度、2 个速率区间、上限 4。 低端入射分布对 \(\eta_a>0\) 取 1，其余为零。

执行过程为：

1. 调用 sub_J02_sweep，每个方向按迎风顺序求解相邻单元。

2. 用 sub_J02_reconstruct_open_boundary_fluxes 将结果积分成边界通量。

3. 把通量乘对应面积，再按外法向符号累加为入射和逸出粒子率。

4. 将同一入口改用完整四面数组表示，重复扫描并核对全部分布系数。

零损失下的全域方程是 \(Q_{\rm in}=Q_{\rm out}\)。 内部面的流出与相邻单元流入相互抵消，因而最终只需累加外边界。 要求入射率为正，且

\[\frac{|Q_{\rm out}-Q_{\rm in}|}{Q_{\rm in}}<10^{-12}.\]

完整入口与紧凑入口结果的最大绝对差也须小于 \(10^{-12}\)。 将高端改为反射壁却省略上一轮分布时，应返回 SN_ERR_REFLECTION_INPUT； 将面类型设为非法值 −1 时，应返回拓扑错误并定位到单元 (1,1)。

实测结果。

核对量	计算值	参考值	误差	容差
入射粒子率	164.1875445	出射 164.1875445	相对差 1.7311e−16	1e−12
完整/紧凑分布最大差	0	0	0	1e−12

缺少壁面状态实际返回 613；非法面类型返回 612，定位单元 (1,1)，符合预期。

2. 固定上一轮分布，核对混合反射

test_mixed_reflection_linearity 使用单元 \(r\in[1,2],z\in[0,1]\)，径向低端与轴向高端为壁面。 损失频率为 0.2，求积为 8×2。 给定上一轮每个速度的系数

\[(c_{0,m},c_{1,m},c_{2,m}) =(1+0.02m,\ 0.03m,\ -0.01m).\]

保持这组旧分布和其他输入不变，以漫反射比例 \(d=0,1,0.35\) 各调用一次 sub_J02_sweep。 入射壁面数据对两种反射贡献线性加权，局部输运方程也是线性的， 因此三次扫描结果应满足

\[\psi_{d=0.35}=0.65\psi_{d=0}+0.35\psi_{d=1}.\]

全部空间系数的最大绝对误差须不超过 \(3\times10^{-13}\)。 这里固定旧分布，核对的是一轮扫描中壁面数据的组装。

实测结果。

核对量	实测误差	容差
混合分布与线性组合的最大差	1.3323e−15	3e−13

3. 部分入口与反射迭代

test_partial_inlet_source_iteration 使用同一单元，但两径向面和高端均反射。 低端只在局部区间 \(\xi\in[-0.5,0.5]\) 开放，其余部分反射。 入射方向的分布为 1，漫反射比例 0.7，损失频率 0.2。

由于 \(r_c=1.5,h_r=0.5\)，开口面积占低端完整面的比例为

\[\chi= \frac{\int_{-0.5}^{0.5}(1.5+0.5\xi)\,d\xi} {\int_{-1}^{1}(1.5+0.5\xi)\,d\xi} =\frac12.\]

调用顺序。 sub_J02_solve_source_iteration 在每轮中由旧出射分布构造反射入射， 执行全域扫描，再计算相对变化。测试最多允许 800 轮，收敛阈值为 \(10^{-14}\)。 随后分别调用单元矩与开放边界通量重构。

断言。 要求返回成功、迭代数大于 2、最终变化不超过阈值。 对一次多项式 \(c_0+c_1\xi+c_2\zeta\)， 四角非负等价于 \(c_0\ge|c_1|+|c_2|\)； 测试对所有速度检查该条件，并核对重构密度非负。

独立收支。 低端数组按完整面面积平均。设完整面积为 \(A\)， 该处坐标向入射通量为正、出射通量为负，则

\[Q_{\rm in}=A\Gamma_{\rm in},\qquad Q_{\rm out}=-A\Gamma_{\rm out},\qquad Q_{\rm loss}=0.2\,Vn.\]

要求 \(|Q_{\rm out}+Q_{\rm loss}-Q_{\rm in}|\le2\times10^{-10}\)。 此外，入射重构值应为 \(\tfrac12\sum_{m:\eta_a>0}w_mv_g\eta_a\)， 绝对误差不超过 \(2\times10^{-13}\)。 这一步直接检查部分开口面积是否正确传入重构。

实测结果。

核对量	计算值	参考值	误差	容差
迭代次数 / 最终相对变化	102 / 9.3923e−15	相对变化 ≤ 1e−14	—	1e−14
流入粒子率	193.4288938	流出 + 损失	—	—
流出 / 体损失粒子率	90.22111749 / 103.2077763	和等于流入	4.6469e−12	2e−10
最小多项式角点值	0.01317485452	非负	—	≥ 0
部分入口通量重构误差	0	0	0	2e−13

同文件的 test_compact_zlo_inflow 用完整与紧凑数组分别扫描同一入口， 检查分布及开放通量的一致性，容差 \(2\times10^{-13}\)。 test_reflection_errors 则检查比例 1.1 和最大迭代轮数 1 的指定错误码。

实测结果。

核对量	实测误差	容差
完整/紧凑分布最大差	0	2e−13
两类开放通量最大差之和	0	2e−13

4. 尖锐入口下的保正和全域守恒

test_J02_positivity.f90 在 \([1,2]\times[0,1]\) 上建立 8×8 网格， 外边界开放，8 个角方向、单一速率 1。 低端只在第 4、5 个径向单元对入射方向设置分布 1，其余位置为零。 这样入口边缘具有明显的不连续变化。

分别以路程损失系数 \(\sigma=0\) 和 \(10\) 执行扫描。 局部过程在出现负角点时使用满足首行收支方程的常数解。 扫描后逐速度、逐单元检查四角非负，再独立累加边界和体积分：

\[Q_{{\rm in},m} =Q_{{\rm out},m}+\sigma\sum_KV_K\bar\psi_{K,m}.\]

这里单一速率为 1；每个方向的共同速度权重在相对误差中抵消。 每个方向的相对收支误差须小于 \(10^{-12}\)， 零入射方向的分母使用 \(10^{-30}\) 防止除零。 该测试同时核对入口陡变后的非负性与粒子数量守恒。

实测结果。

损失系数	所有速度和单元的最小角点值	各速度相对收支误差的最大值	收支容差
σ = 0	0	5.8023e−16	1e−12
σ = 10	0	3.8682e−16	1e−12

5. 完整入口是否返回完整且对应本次调用的结果

test_J02_transport_entry.f90 通过 sub_J02_solve_transport 依次运行下列情况：

输入	执行	断言
全开放单元、零入口、零损失	完整求解与重构	成功且收敛；密度已分配并为零，出射为零
单元部分入口、其余反射，比例 0.7、零损失	完整入口；另逐步调用反射迭代和三类重构	分布、密度、入射和出射数组最大差 ≤ \(10^{-12}\)；相对粒子收支 < \(10^{-8}\)
同一入口改为紧凑数组	再次求解	密度最大差 ≤ \(10^{-12}\)
将迭代上限降至 2	再次调用同一结果对象	返回未收敛；收敛标记为假，密度数组未分配
2×2 全开放网格、非零低端入口	分别使用完整和紧凑表示	两类内部面数组存在，轴向输运非零；密度、径向和轴向通量差均 ≤ \(10^{-12}\)
入口遗漏、两种表示同时给出、区间只给一个端点	分别调用完整入口	返回指定输入错误

成功调用之后紧接失败调用，能够检查结果对象是否清除了上一次的重构场。

实测结果。

核对量	计算值	参考值	误差	容差
零输入：最大密度 / 出射通量	0 / 0	0 / 0	0	精确零场
反射主入口与逐步组装：四类数组最大差	0 / 0 / 0 / 0	0	0	1e−12
反射主入口粒子收支	4.9240e−10	0	4.9240e−10	1e−8
紧凑反射入口密度最大差	0	0	0	1e−12
2×2 网格：密度 / 径向通量 / 轴向通量最大差	0 / 0 / 0	0	0	1e−12

完整反射求解使用 137 轮，最终变化 8.7634e−11，小于 1e−10。 上限改为 2 后实际返回 615（未收敛），收敛标记和密度分配状态均为 F。

6. 入口幅值与低温壁面

test_J02_review_regressions.f90 对第 3 项的部分入口单元使用 \(a=1,10^{-20},10^{20}\) 三个入射幅值。 线性输运和反射归一化应给出 \(\psi(a)=a\psi(1)\)。 每次重新迭代并重构，要求

\[\frac{\|\psi(a)/a-\psi(1)\|_\infty}{\|\psi(1)\|_\infty}<10^{-8},\]

收敛迭代数相差至多 1，且相对粒子收支误差小于 \(10^{-8}\)。 实测结果。

入口幅值	迭代数	缩放分布相对误差	相对粒子收支误差
1	73	0	1.9246e−10
1e−20	73	3.6595e−16	1.9246e−10
1e20	73	2.7446e−16	1.9246e−10

零输入另核对零场固定点。

随后将壁温降到该速度网格无法表示热分布的范围。 壁面形状构造必须返回 SN_ERR_WALL_NORMALIZATION， 错误消息应提示检查 velocity grid。 完整壁面和部分入口剩余壁面的零归一化分母都要报错； 纯镜面扫描则应成功，因为其返回速度由镜面映射直接确定。

实测错误状态。 低温 Maxwell 形状返回 617，与 SN_ERR_WALL_NORMALIZATION 一致； 错误消息包含 velocity grid。纯镜面调用返回成功。

执行与结果

bash tests/012_fluid/J02_neutral_sn_transport_2Drz/run.sh

上述各程序在 2026-10-06 通过。日志按程序名保存到 build。 正向计算检查数值误差与收支，错误用例检查约定的返回码和失败输出。 接下来在并行页使用相同公共求解过程，改变线程和空间分区重新核对结果。

Assembled calculations

The tests connect local equations through upwind sweeps, then reflection iteration, positivity recovery and complete field reconstruction.

1. test_J02_unified_sweep: a 2×2 open grid, eight angles, two speeds up to 4, unit incoming shape at z-low and zero loss. Reconstruct boundary rates after a sweep; relative number imbalance and full/compact distribution difference must be below 1e-12. Invalid wall state and face type return specific errors. Measured: incoming/outgoing rates 164.1875444763250 / 164.1875444763249; relative imbalance 1.7311e-16; full/compact maximum difference 0.

2. test_mixed_reflection_linearity: hold the previous distribution fixed and sweep a reflecting cell with diffuse fractions 0, 1 and 0.35. Check \(\psi_{0.35}=0.65\psi_0+0.35\psi_1\) within 3e-13. Measured: maximum coefficient difference 1.3323e-15, below 3e-13.

3. test_partial_inlet_source_iteration: one annular cell, three reflecting faces, lower inlet interval [-0.5,0.5], diffuse fraction 0.7 and loss frequency 0.2. Up to 800 iterations must reach relative change 1e-14. Verify nonnegative corners/density, half-area inlet reconstruction within 2e-13 and absolute particle imbalance at most 2e-10. Measured: 102 iterations, final change 9.3923e-15. Incoming, outgoing and loss rates were 193.4288938266637, 90.22111748850800 and 103.2077763381511; imbalance 4.6469e-12. Minimum corner value 0.0131748545.

4. test_J02_positivity: an 8×8 open grid, one speed 1, eight directions, and only two lower inlet cells populated. Run absorption 0 and 10. All polynomial corners must be nonnegative; independently summed directional boundary escape plus volume loss must equal injection within relative 1e-12. Measured: minimum corner 0 in both cases; maximum directional relative imbalances 5.8023e-16 (zero loss) and 3.8682e-16 (loss 10).

5. test_J02_transport_entry: zero input, reflecting partial inlet, full/compact representations, nonzero multicell internal fluxes and repeated calls after failure. Fields agree with explicit iteration/reconstruction within 1e-12. Failed solves must clear the previous density; missing or ambiguous input reports errors. Measured: 137 reflecting iterations, change 8.7634e-11, relative imbalance 4.9240e-10. All assembled/full/compact field differences were zero. Iteration-limit code 615 left both convergence and density-allocation flags false.

6. test_J02_review_regressions: amplitudes 1, 1e-20 and 1e20 give normalized fields within 1e-8, iteration counts within one and relative balance below 1e-8. Zero input gives a zero fixed point. Underresolved thermal walls report normalization errors with a velocity-grid hint; pure-specular transport remains valid.

   Measured: all amplitudes required 73 iterations; rescaled field errors were 0, 3.6595e-16 and 2.7446e-16. Relative imbalances were at most 1.9247e-10. Underresolved-wall error code was 617, as expected.

Independent balance

For the partial reflecting cell, the inlet and escape share the lower open area:

\[Q_{\rm in}=A\Gamma_{\rm in},\quad Q_{\rm out}=-A\Gamma_{\rm out},\quad Q_{\rm loss}=0.2Vn,\qquad Q_{\rm in}=Q_{\rm out}+Q_{\rm loss}.\]

The flux arrays are normalized by the complete face area; the open fraction is already present in reconstructed values.

bash tests/012_fluid/J02_neutral_sn_transport_2Drz/run.sh

All programs passed on 2026-10-06. Logs are under build.