Wall Reflection

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sub_J01_fm_reflection.f90 只有 sub_J01_reflect_velocity 一个过程。 跟踪过程已经确定碰到哪个壁面；本过程只修改粒子速度，再交回同一条轨迹继续计算。

1. 碰壁前后应满足什么条件

设 \(\boldsymbol n_f\) 是从气体指向壁外的单位法向。 碰壁前有 \(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol n_f>0\)， 反射后必须有 \(\boldsymbol v'\cdot\boldsymbol n_f<0\)。 当前壁面不吸附粒子，碰壁后仍只有一条、权重不变的历史； 壁面可以改变运动方向，也可以在热漫反射时改变粒子能量。

输入 \(d\in[0,1]\) 对应 diffuse_fraction。 每次碰壁独立抽一个均匀随机数：小于 \(d\) 时漫反射，否则镜面反射。 这是选择一次反射事件，不是把同一粒子的两个速度向量按比例相加。

2. 镜面反射保留切向速度

将速度分解为法向和切向分量，镜面反射为

\[\boldsymbol v'=\boldsymbol v -2(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol n_f)\boldsymbol n_f.\]

因此径向壁只翻转 \(v_r\)，轴向壁只翻转 \(v_z\)。 切向分量和速率保持不变，轨迹在同一气体侧继续。

3. 热漫反射为什么使用不同的法向分布

壁温为 \(T_{\mathrm w}\)，定义 \(\sigma_{\mathrm w}=\sqrt{k_{\mathrm B}T_{\mathrm w}/M}\)， 其中 \(M\) 是粒子质量，\(k_{\mathrm B}\) 是 Boltzmann 常数。 用 \(c>0\) 表示返回气体的法向速率，\(v_t\) 表示切向速度。 壁面热分布本身按速度呈高斯形，但离开壁面的粒子统计要乘穿面的速率 \(c\)。 归一化后的联合概率密度是

\[p(c,v_t)= \frac{c}{\sigma_{\mathrm w}^2} e^{-c^2/(2\sigma_{\mathrm w}^2)} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{\mathrm w}} e^{-v_t^2/(2\sigma_{\mathrm w}^2)},\qquad c>0.\]

它分成两个独立分布。切向是零均值正态；法向累计概率为

\[F_c(c)=\int_0^c\frac{s}{\sigma_{\mathrm w}^2} e^{-s^2/(2\sigma_{\mathrm w}^2)}\,\mathrm ds =1-e^{-c^2/(2\sigma_{\mathrm w}^2)}.\]

抽取相互独立的随机变量 \(\xi\sim U(0,1)\) 和 \(Z\sim N(0,1)\)，分别用于法向和切向速度。 \(\xi\) 是均匀随机数，\(Z\) 是标准正态随机数。 反解得到 \(c=\sigma_{\mathrm w}\sqrt{-2\ln(1-\xi)}\)。 由于 \(1-\xi\) 也服从均匀分布，代码等价地使用

\[c=\sigma_{\mathrm w}\sqrt{-2\ln\xi},\qquad v_t=\sigma_{\mathrm w}Z.\]

这就是法向 Rayleigh 分布与切向正态分布。不能把法向速率简单改为正态随机数的绝对值； 后者缺少穿面速率加权，表示的是不同的物理模型。

4. 把法向、切向速度写回坐标分量

碰到的面	外法向	漫反射后的 \(v_r'\)	漫反射后的 \(v_z'\)
径向低端	\((-1,0)\)	\(c\)	\(v_t\)
径向高端	\((1,0)\)	\(-c\)	\(v_t\)
轴向低端	\((0,-1)\)	\(v_t\)	\(c\)
轴向高端	\((0,1)\)	\(v_t\)	\(-c\)

每一行都保证法向分量返回气体。切向正态分量可正可负， 所以漫反射还可能改变粒子沿另一个坐标方向的运动趋势。

5. 过程输入与输出

sub_J01_reflect_velocity：

• 输入并原地修改 ur,uz，单位 m/s；输出为反射后粒子速度。

• 输入 face，必须为四个合法面常量之一。

• 输入 diffuse_fraction，必须在 \([0,1]\)。

• 输入 sigma_wall，是正的速度标准差（m/s），不是温度（K）； 完整调用过程根据质量和壁温计算它。

• 不修改位置、不记录穿面、不改变历史权重，也不返回 ierr。 单独调用时必须满足面编号、速度方向和参数的前置条件。

轨迹过程负责碰壁后的微小向内定位，再计算下一段飞行。 在两面交会的角点，反射导致的切向改向会影响后续碰面处理，下一页按执行顺序说明。 若新增吸附模型，不能只让速度归零；还需要规定历史结束方式及粒子损失统计。

sub_J01_reflect_velocity modifies ur and uz after the tracker identifies a wall face. It neither moves the particle nor changes history weight.

With outward normal n, an incident velocity has v·n>0 and the reflected velocity must have v′·n<0. A Bernoulli choice selects diffuse reflection with probability d and specular reflection otherwise.

\[\boldsymbol v'=\boldsymbol v-2(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol n)\boldsymbol n \quad\text{(specular)}.\]

For diffuse reflection, the inward normal speed is flux weighted and the tangential velocity is normal:

\[p(c,v_t)=\frac{c}{\sigma_{\mathrm w}^2}e^{-c^2/(2\sigma_{\mathrm w}^2)} \frac{e^{-v_t^2/(2\sigma_{\mathrm w}^2)}}{\sqrt{2\pi}\sigma_{\mathrm w}}, \quad c=\sigma_{\mathrm w}\sqrt{-2\ln\xi},\quad v_t=\sigma_{\mathrm w}Z.\]

The two random variables are independent: \(\xi\sim U(0,1)\) and \(Z\sim N(0,1)\). \(\sigma_{\mathrm w}=\sqrt{k_{\mathrm B}T_{\mathrm w}/M}\) uses particle mass M and the Boltzmann constant kB.

The four faces map (c,vt) to (+c,vt), (-c,vt), (vt,+c), (vt,-c). Inputs are face, diffuse_fraction and sigma_wall in m/s; ur/uz are inout velocities. The routine has no ierr and requires valid inputs. Position offsets and corner sequencing belong to the tracker. Absorption would additionally require history-termination and loss accounting.