J01 Legacy Updates

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被测接口与程序

这里保留三维归一化连续性更新，以及二维给定速度下的面通量和单步更新检查。

测试文件（J01 测试目录的 source_f90 下）	对应正式源码与过程
test_J01_continuity_freeflow.f90	sub_J01_continuity_freeflow.f90：sub_J01_continuity_freeflow
test_J01_faceflux_2Drz_units.f90	sub_J01_continuity_freeflow_2Drz.f90：sub_J01_build_faceflux_2Drz、sub_J01_continuity_step_2Drz

第二个文件还包含完整粒子主入口检查，放在本组的 Complete FM Solve 页说明。

1. 三维更新的参考公式与索引

三维接口采用 \(\Delta x=\Delta y=\Delta z=\Delta t=1\)。 在任意方向，左右密度为 \(n_L,n_R\)，该方向速度为 \(u_L,u_R\)，局部 Lax–Friedrichs 面通量为

\[F=\frac{u_Ln_L+u_Rn_R}{2} -\frac{\max(|u_L|,|u_R|)}{2}(n_R-n_L).\]

由六个面的通量得到

\[n_{ijk}^{\rm new}=n_{ijk}^{\rm old} -(F^x_{i+1/2,j,k}-F^x_{i-1/2,j,k}) -(F^y_{i,j+1/2,k}-F^y_{i,j-1/2,k}) -(F^z_{i,j,k+1/2}-F^z_{i,j,k-1/2})-s_{ijk}.\]

测试取 lo=[1,2,3]、hi=[4,6,5]。 更新范围为各方向的 lo-1:hi，数组两端 lo-2 与 hi+1 是保护层。 三个方向的范围不同，可以暴露方向互换或错位索引。 每次调用前保存原场；调用后同时检查新密度、旧场副本 n0 和保护层。

2. 按限制情形逐项核对三维公式

测试子程序	问题与输入	参考值及断言	实测结果（2026-10-06，real8）
test_zero_velocity_identity	非均匀密度，三方向速度和 s 全为零	所有面通量为零，密度保持；n0 精确复制调用前的数组	密度与副本的最大差均为 0
test_source_sign	速度为零，更新区设 s=0.002*(2*i-j+3*k)+0.015	更新区满足 \(n^{\rm new}=n^{\rm old}-s\)；保护层不变	密度与副本的最大差均为 0
test_single_step_reference	三方向速度、密度和 s 均随位置变化	reference_step 从每点的六个邻面独立算通量，再按上式核对全部更新点	所有点最大误差 0，容差 1e−12
test_unit_shifts	每次只启用一个方向，速度取 +1 或 −1，使用周期保护层	六种组合均为沿速度方向平移一格；旧场副本和保护层仍保持	x 方向两种符号误差均为 0；y、z 均为 1.7764e−15，容差 1e−12
test_periodic_mass_conservation	非均匀密度、速度，周期保护层，s=0	对更新区求和，共享面相消、周期首尾面相消，总密度保持	更新前 246.2099453，更新后 246.2099453；差 1.7053e−13，容差 2.4621e−10

整格平移可以直接由通量式推出：当 \(u_L=u_R=1\) 时， \(F=n_L\)，从而 \(n_i^{\rm new}=n_{i-1}^{\rm old}\)； 速度为 −1 时 \(F=-n_R\)，得到 \(n_i^{\rm new}=n_{i+1}^{\rm old}\)。 它同时检查迎风方向和面索引。

密度逐点绝对容差为 \(10^{-12}\)，旧场副本与保护层要求精确相等。 周期总量容差按测试中的总密度尺度缩放。 任一失败都会报告对应数组或检查名称，并使程序非零退出。

3. 二维内部面与边界通量

test_lax_friedrichs_signs 给定两个相邻单元的密度 \([2,5]\)， 调用 sub_J01_build_faceflux_2Drz。同一个面通量式给出三组手算值：

\[\begin{aligned} u_L=u_R=1 &: \quad F=\tfrac12(2+5)-\tfrac12(5-2)=2,\\ u_L=u_R=-1 &: \quad F=\tfrac12(-2-5)-\tfrac12(5-2)=-5,\\ (u_L,u_R)=(1,3) &: \quad F=\tfrac12(2+15)-\tfrac32(5-2)=4. \end{aligned}\]

测试在两个径向相邻单元的共享面核对以上数值，绝对容差为 \(10^{-13}\)。

实测结果。

核对量	计算值	参考值	误差	容差
速度 +1	2	2	0	1e−13
速度 −1	−5	−5	0	1e−13
左右速度 1、3	4	4	0	1e−13

test_boundary_outflow_signs 使用密度 3、速度 \((u_r,u_z)=(-2,4)\)。按 \((r\text{低端},r\text{高端},z\text{低端},z\text{高端})\) 的顺序， 流出通量应为 \((-6,0,0,12)\)。 这里通量按坐标方向带符号，低端流出为负，高端流出为正； 其余两面速度朝内，流出部分为零。

实测结果。

核对量	计算值	参考值	误差	容差
四面流出通量	(−6,0,0,12)	(−6,0,0,12)	最大差 0	1e−13

4. 面积、体积与半隐式损失

test_cylindrical_step_formula 调用 sub_J01_continuity_step_2Drz。 单元体积 \(V=2\)、入口面积 \(A=3\)、入射通量大小 2， 故单位体积的入射贡献为 \(A\Gamma_{\rm in}/V=3\)。 初始密度 2、体源 4、损失频率 1、时间步 0.5，则

\[n^{\rm new} =\frac{n^{\rm old}+\Delta t(A\Gamma_{\rm in}/V+S)} {1+\Delta t\,\nu} =\frac{2+0.5\times3+0.5\times4}{1.5} =\frac{11}{3}.\]

测试将实际密度与此值核对，定位面积/体积权重或损失时间层的错误。 test_input_errors 再向通量过程输入负密度， 要求返回 J01_ERR_NEGATIVE_INPUT。

实测结果。

核对量	计算值	参考值	误差	容差
更新后密度	3.666666667	11/3	0	1e−13

负密度输入返回码为 102，与 J01_ERR_NEGATIVE_INPUT 一致。

运行与结果

bash tests/012_fluid/J01_free_molecular/run.sh

脚本先运行三维程序，再运行二维通量程序，之后才执行粒子过程测试。 日志分别为 build/test_J01_continuity_freeflow.log、 build/test_J01_faceflux_2Drz_units.log。 2026-10-06 两个程序通过，三维程序报告的最大绝对误差为 \(1.7053\times10^{-13}\)。

Programs and production interfaces

test_J01_continuity_freeflow.f90 exercises the retained 3D sub_J01_continuity_freeflow. test_J01_faceflux_2Drz_units.f90 checks the 2D sub_J01_build_faceflux_2Drz and sub_J01_continuity_step_2Drz. The complete particle-driver check in the latter file is described on Complete FM Solve.

1. Three-dimensional reference

With unit spacing and timestep, each face uses

\[F=\tfrac12(u_Ln_L+u_Rn_R)-\tfrac12\max(|u_L|,|u_R|)(n_R-n_L).\]

The update subtracts the three directional face differences and s. Test bounds are lo=[1,2,3], hi=[4,6,5]; the updated range is lo−1:hi, with guards at lo−2 and hi+1. Unequal directional ranges expose index swaps.

test_zero_velocity_identity checks zero-transport identity. test_source_sign checks \(n_{\rm new}=n_{\rm old}-s\). test_single_step_reference independently evaluates six face fluxes per point with spatially varying data. test_unit_shifts checks all six unit-speed translations: positive speed gives \(F=n_L\) and copies the upstream point; negative speed gives \(F=-n_R\). test_periodic_mass_conservation checks total density when paired faces cancel.

Pointwise density tolerance is \(10^{-12}\). The old-state copy and guards must match exactly; the mass tolerance scales with total density.

2. Two-dimensional flux and step checks

For densities [2,5], velocities +1, −1 and [1,3] yield internal face fluxes 2, −5 and 4 on their shared radial face, checked to \(10^{-13}\). For density 3 and velocity (−2,4), boundary outflow in r-low/r-high/z-low/z-high order is (−6,0,0,12), signed along the coordinate axes.

With V=2, inlet A=3, incident flux magnitude 2, initial density 2, source 4, loss frequency 1 and timestep 0.5, the expected half-implicit result is

\[n_{\rm new}=\frac{2+0.5(3\times2/2+4)}{1+0.5}=\frac{11}{3}.\]

A separate negative-density input must return J01_ERR_NEGATIVE_INPUT.

Execution and record

Measured results.

Quantity	Computed	Reference	Error	Limit
3D identity/source/reference max error	0	0	0	1e−12
3D shifts max error	1.7764e−15	0	1.7764e−15	1e−12
Periodic sum	246.2099453	246.2099453	1.7053e−13	2.4621e−10
2D internal fluxes	2 / −5 / 4	2 / −5 / 4	0	1e−13
2D boundary fluxes	(−6,0,0,12)	(−6,0,0,12)	0	1e−13
2D step density	3.666666667	11/3	0	1e−13

bash tests/012_fluid/J01_free_molecular/run.sh

The 3D and 2D programs run first; individual logs are saved under build. Both passed on 2026-10-06. The recorded 3D maximum absolute error is \(1.7053\times10^{-13}\).